Question

矩阵条件数是什么

矩阵的条件数是什么，为什么条件数大，相应的方程就病态？

Answer 1

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖
对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。

Answer 2

条件数本身就是反映函数病态程度的，这个看书上定义就应该明白了。

希望我的回答会对你有帮助!

Answer 3

数值分析中，将矩阵A的范数||A||与它的逆矩阵的范数||A^(-1)||之积称为这个矩阵A的条件数，记为cond(A).
为什么要这么定义呢？一个简单的例子是，如果我们想求解线性方程组Ax=b，虽然当A可逆时，理论上可以解出x=A^(-1)*b,但在实际工程中，由于构成A、b中的数可能都不是精确的，而仅是一些近似数，当b中数据发生“小”的变化时会对解x造成多大的误差呢？如果误差很大，那么，这种方程按x=A^(-1)*b算出的结果x就不可信，因此称为病态方程。
利用矩阵论理论，当A的条件数越大，方程Ax=b的病态就越严重。这也就是我们研究条件数的原因。