Question

已知向量a=(2cosα,2sinα) b=(sinβ,cosβ)求向量a+b的模的最小值 若向量c=（-1/2，根号3/2） 且向量a*b

且向量a*b=3/5 β∈（0，π） 求sinβ的值

Answer 1

p表示α，q表示β：
|a+b|^2=(a+b)·(a+b)=|a|^2+|b|^2+2a·b=4+1+2(2cosp,2sinp)·(sinq,cosq)
=5+4(cospsinq+sinpcosq)=5+4sin(p+q)，故：|a+b|^2∈[1,9]，即：|a+b|的最小值是1
a·b=(2cosp,2sinp)·(sinq,cosq)=2sin(p+q)=3/5，条件不够，不能求解β
另外c有什么用？

追问

嗯 是向量c*b=3/5 我解得也是1

追答

b·c=(sinq,cosq)·(-1/2,sqrt(3)/2)=-sinq/2+sqrt(3)cosq/2=-sin(q-π/3)=3/5
即：sin(q-π/3)=-3/5，而：q∈(0,π)，故：q-π/3∈(-π/3,2π/3)
而：sin(q-π/3)=-3/5，故：q-π/3∈(-π/3,0]，故：cos(q-π/3)=4/5
sinq=sin(q-π/3+π/3)=sin(q-π/3)cos(π/3)+cos(q-π/3)sin(π/3)
=(-3/5)*(1/2)+(4/5)*(sqrt(3)/2)=(4sqrt(3)-3)/10

b·c=(sinq,cosq)·(-1/2,sqrt(3)/2)=-sinq/2+sqrt(3)cosq/2=-sin(q-π/3)=3/5
即：sin(q-π/3)=-3/5，而：q∈(0,π)，故：q-π/3∈(-π/3,2π/3)
而：sin(q-π/3)=-3/5，故：q-π/3∈(-π/3,0]，故：cos(q-π/3)=4/5
sinq=sin(q-π/3+π/3)=sin(q-π/3)cos(π/3)+cos(q-π/3)sin(π/3)
=(-3/5)*(1/2)+(4/5)*(sqrt(3)/2)=(4sqrt(3)-3)/10