Question

已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,tanA+tanB=根号3-根号3tanAtanB,a=2,c=根号19

（1）求tan(A+B)
(2)求△ABC的面积

Answer 1

解： (1)∵tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
∴tanA+tanB=tan(A+B)-tan(A+B)*tanAtanB
又 tanA+tanB=根号3-根号3tanAtanB,
从而 tan(A+B)=√3

(2)由 tan(A+B)=√3 得 A+B=60°
C=180°-A-B=80°-60°=120°
从而 sinC=√3/2
由 正弦定理,得 a/sinA=c/sinC
2/sinA=√19/√3/2
则 sinA=√3/√19
cosA=√(1-3/19)=√16/√19
从而 sinB=sin(60°-A)=sin60°cosa-cos60°sinA
=√3/2*√16/√19-1/2*√3/√19
=1/2*(√18-√3)/√19
∴△ABC的面积=1/2*a*c*sinB
=1/2*2*√19*1/2*(√18-√3)/√19
=1/2*(√18-√3)
=1/2(3√2-√3)

Answer 2

解：
1. 已知tanA+tanB=√3-√3tanAtanB
即(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=√3
tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB);
所以tan（A+B）=√3；
2. A+B=60 °
C=120° sinC=√3/2
a/sinA=c/sinC
sinA=√13/13 cosA=2√39/13
sinB=sin(60°-A) =√13 /26
△ABC的面积=1/2acsinB =√247 /26

Answer 3

解：1）∵tanA+tanB=√3-√3tanAtanB
=>(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=√3
=>tan(A+B)=√3
2)tan(A+B)=√3
=>A+B=π/3
=>C=2π/3
余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC
=>b2+2b-15=0
=>(b+5)(b-3)=0
=>b=-5<0舍，或b=3
∴S△ABC=1/2absinC=1/2*2*3*√3/2=(3√3)/2

Answer 4

(1)tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tanA+tanB=tan(A+B)-tan(A+B)*tanAtanB
tanA+tanB=根号3-根号3tanAtanB,
tan(A+B)=√3
(2)A+B=60°
C=120° sinC=√3/2
正弦定理
a/sinA=c/sinC
sinA=√13/13 cosA=2√39/13
sinB=sin(60°-A)=sin60°cosa-cos60°sinA=√13/26
S=1/2*ac*sinB=√247/26

Answer 5