Question

在rt三角形abc中,角acb=90度,d,e分别是ab,bc的中点,点f在ac的延长线上,∠fec=∠b.

(1)cf与de相等吗？为什么？
（2）如果ac=6，ab=10.求四边形dcfe的面积

Answer 1

第一个问题：
∵AC⊥BC、∠B＝∠CEF，∴∠A＝∠F［等角的余角相等］。
∵D是Rt△ABC中斜边的中点，∴AD＝CD，∴∠A＝∠DCA，又∠A＝∠F，∴∠DCA＝∠F，
∴DC∥EF。
∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥CF，而DC∥EF，
∴DCFE是平行四边形，∴CF＝DE。

第二个问题：
∵AC＝6、AB＝10，又AC⊥BC，∴AC＝√（AB^2－AC^2）＝√（10^2－6^2）＝8。
∴S(△ABC)＝（1/2）AC×BC＝（1/2）×6×8＝24。
∵D是AB的中点，∴S(△BCD)＝（1/2）S(△ABC)＝12。
∵E是BC的中点，∴S(△CDE)＝（1/2）S(△BCD)＝6。
∵DCFE是平行四边形，∴S(DCFE)＝2S(△CDE)＝12。