Question

如图,已知平行四边形ABCD中,DE是∠ADC的角平分线,DE交BC于点E. (1)求证:CD=CE； (2)若AE⊥DE，DC=5，DE=8

如图,已知平行四边形ABCD中,DE是∠ADC的角平分线,DE交BC于点E.
(1)求证:CD=CE；
(2)若AE⊥DE，DC=5，DE=8，求平行四边形ABCD的面积.

Answer 1

 

（1）因为DE是∠ADC的角平分线

所以∠1=∠2

因为平行四边形ABCD中，AD∥BC

所以∠1=∠3

所以∠3=∠2

所以CD=CE

（2）延长AE、DC相交于点F

因为AE⊥DE，DC=5，DE=8

所以∠DEA=∠DEF=90°

∠F+∠2=∠3+∠4=90°，即∠4=∠F

所以CF=CE=CD=5，DF=10

根据勾股定理得;EF=根号（10²-8²）=6

又因为∠1=∠2，DE=DE

所以△DEA≌△DEF(ASA)

所以AE=FE=6，AF=12

因为AB∥CD

所以∠6=∠F

又因为∠4=∠5

所以△ABE≌△FCE(ASA)

所以S平行四边形ABCD=S△DAF=12×8÷2=48

Answer 2

1∠C+∠ADC=180
∠C+∠CDE+∠CED=180
∠CDE=1/2∠ADC
所以∠CED=∠CDE
CD=CE
2因为AE⊥DE ∠BAD+∠ADC=180 ∠ADE=∠CDE=1/2∠ADC
所以∠BAE=∠EAD=1/2∠BAD
与1同理可得AB=BE
因为AB=CD
所以AD=BC=BE+CE=10
因为DE=8
所以根据勾股定理AE=6
SABCD=2S△ADE=48