Question

如图在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x+bx+c经过A、B两点

抛物线y=-x+bx+c经过A、B两点，并与x轴交与另一点C，点P是抛物线上的一个动点。 （1）求抛物线的解析式及点c的坐标 （2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？ 第二问求思路和解题过程

Answer 1

先由直线方程求出A、B点坐标：A(-4,0)、B(0,4)，∴ c=4 是抛物线在y轴上的截距；
将A(-4,0)代入抛物线方程得：b=x -c/x=-4 +4/4=-3，∴ 抛物线方程为 y=-x²-3x+4；
令 y=-x²-3x+4=0，解得：x=-4（即A点）、x=1；坐标C(1,0)；
（2）欲求PE（即P到直线y=x+4的竖向间距）最长值，等同于寻求第二象限抛物线上到已知直线距离最远的点；当一条直线与抛物线相切且与已知直线平行时，它不能再远离抛物线了（否则无共同点），这样的切点即为欲求点P；
切点斜率等于直线斜率 k=1，抛物线切线斜率 y'=-2x-3，令 y'=1 得 x=-3/2；
将 x 代入抛物线方程可得切点P y=-(-3/2)²-3*(-3/2)+4=25/4；
PE（x=-3/2）与直线 y=x+4 的交点E y=-3/2 +4=5/2；
最大 PE=25/4 -5/2=15/4；

Answer 2

设P(m，-m^2-3m+4),
则E(m，m+4),
∴PE=-m^2-3m+4-(m+4)
=-m^2-4m
=-(m+2)^2+4,
∴当m=-2时，PE最大=4。