Question

已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE：AB=1：3．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．

Answer 1

　　（1）证明：连接OA．
　　∵AE：AB=1：3，
　　∴设AE=x，则AB=3x．
　　∵OB⊥AD于E，BE=8，
　　∴（3x）2=x2+82．
　　解得x=2
　　2
（舍负）．
　　∴AE=2
　　2
，AB=6
　　2
．
　　∵OE=1，
　　∴AO=
　　AE2+OE2
=3．
　　∵AB2+OA2=81，OB2=81，
　　∴OB2=AB2+OA2．
　　∴△OAB是直角三角形．
　　∴OA⊥AB．
　　∴AB是⊙O的切线．
　　（2）解：作直径AM，连接DM．
　　∴∠DOM=2∠OAE．
　　∵∠B=∠OAE，
　　∴∠DOM=2∠B．
　　∵点O是AM的中点，点E是AD的中点，OE=1，
　　∴DM=2OE=2．
　　将△ODM绕点O顺时针方向旋转，
　　∵∠AOF=∠DOM=2∠B，
　　∴当点D与点A重合时，点M与点F重合．
　　∴AF=DM=2．