Question

求证一道几何题

P为三角形内任意一点，O为三角形外心，若P点到三角形任一顶点距离等于其外心到对边距离的2倍，求证：P为三角形垂心。

Answer 1

证明：取AB、AP的中点分别D、K，结合已知条件，则有

DK∥BP，且DK=1/2BP=OF

FK∥CP，且FK=1/2CP=OD

 ∴DOFK为平行四边形，故有

BP∥DK∥OF，

 CP∥FK∥OD，

 又已知O为外心，因此有

OF⊥AC，∴BP⊥AC；OD⊥AB，∴CP⊥AB

 即证P点三角形ABC的垂心。