Question

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an/（2an+1）。归纳推测an，并用数学归纳法证明。

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Answer 1

由递推公式可得 a1=1 ，a2=1/3 ，a3=1/5 ，a4=1/7 ，
推测 an=1/(2n-1) 。

证明：（1）当 n=1 时，显然成立 ，
（2）设当 n=k 时有 ak=1/(2k-1)(k>=1) ，
则当 n=k+1 时有 a(k+1)=ak/(2ak+1)
=[1/(2k-1)] / [2/(2k-1)+1]
=[1/(2k-1)] / [(2k+1)/(2k-1)]
=1/(2k+1)
=1/[2(k+1)-1] ，
这说明，当 n=k+1 时，等式也成立，
根据（1）（2）可得，等式 an=1/(2n-1) 对任意正整数 n 都成立。

追问

为什么当 n=k+1 时有 a(k+1)=ak/(2ak+1)，而不是 a(k+1)=1/(2ak+1)

追答

这是已知递推公式啊。要证的是 a(k+1)=1/(2k+1) 。

追问

唉 又脑子艮了。谢了，我明白了，给个满意。

Answer 2

1/a(n+1)=2+1/an，所以数列{1/an}是等差数列，1/a1=1，然后就可以求得{an}的通项为an=1/（2n-1），然后就理所当然的猜想通向为an=1/（2n-1），然后再按照数学归纳法的固定步骤写就是了。

追问

问的就是步骤。。

追答

教材上上不是有么。。。西域牛仔王这个人的回答就是啊

追问

谢谢，我明白了

Answer 3

Answer 4

Answer 5

an=1/(2n-1)