Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=√2/2，点

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=√2/2，点（1，√2/2）为椭圆上一点

1.求椭圆的标准方程
2.过点F1的直线l与该椭圆交于M，N两点，且|向量F2M+向量F2N|=2√（26）/3，求直线l的方程

Answer 1

1、离心率e=c/a=√2/2
将点(1,√2/2)代入椭圆，可得
1/a^2+1/(2b^2)=1
再有a^2=c^2+b^2
联立，可解得
a=√2，b=1
∴椭圆方程为 x^2/2+y^2=1
2、椭圆焦点为F1(-1,0),F2(1,0)
设过F1的直线方程为y=k(x+1)
设交点为M(x1,y1),N(x2,y2)
则有k=(y1-y2)/(x1-x2)
设MN中点为O(m,n)，则有
m=(x1+x2)/2, n=(y1+y2)/2
M,N在椭圆上，代入即有
x1^2/2+y1^2=1
x2^2/2+y2^2=1
两式相减，即有
(x1+x1)(x1-x2)/2+(y1+y2)(y1-y2)=0
即 m+2kn=0 (1)
又|向量F2M+向量F2N|=2√（26）/3
由向量合成的平行四边形法则，有
F2O=1/2[2√（26）/3]=√26/3
即有 F2O^2=26/9=(m-1)^2+n^2 (2)
又点O在直线MN上，
∴有 n=k(m+1) (3)
联立(1),(2),(3)，可解得
m=-2/3，n=±1/3，k=±1
∴直线l方程为 y=±(x+1)