Question

1、λ取何值时，齐次线性方程 λx1+x2+x3=0 x1+λx2+ x3=0 x1+x2 + λx3 =0

已知

A= 〔5 2
0 0

2
1 0 0

0
0
1 3

0
0
1 1〕 求A^-1

︱A^-1︱及

︱A^11︱
第一题是λ取何值时，齐次线性方程有非零解，第二题是 5200 2100 0013 0011

Answer 1

1、
λx1+x2+x3=0
x1+λx2+ x3=0
x1+x2 + λx3=0
有非零解，
那么系数矩阵的秩要小于3，即行列式值为0
所以
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ 第2行减去第1行
=
λ 1-λ 1
1 λ-1 1
1 0 λ 第1行加上第2行
=
λ+1 0 1
1 λ-1 1
1 0 λ 按第2列展开
=(λ-1)*[(λ+1)*λ -1]=0
所以λ=1或λ^2+λ -1=0
解得λ=1或 (-1+√5)/2或(-1-√5)/2

2、
A属于分块矩阵，可以用分块逆矩阵来求，但实际上是一样的
用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候，
即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆
在这里
(A，E)=
5 2 0 0 1 0 0 0
2 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 3 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1 第1行减去第2行×2，第3行减去第4行乘以3
～
1 0 0 0 1 -2 0 0
2 1 0 0 0 1 0 0
0 0 -2 0 0 0 1 -3
0 0 1 1 0 0 0 1 第2行减去第1行×2，第3行除以-2，第4行减去第3行
～
1 0 0 0 1 -2 0 0
0 1 0 0 -2 5 0 0
0 0 1 0 0 0 -1/2 3/2
0 0 0 1 0 0 1/2 -1/2
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵A^(-1)就是
1 -2 0 0
-2 5 0 0
0 0 -1/2 3/2
0 0 1/2 -1/2
那么
|A^-1|=|A|^(-1)=1/[(5-2*2)*(1-3)]= -1/2
|A^11| =|A|^(11)=(-2)^11