Question

已知数列｛an｝是等比数列，Sn为其前n项和，设S3=3/2，S6=21/16，bn=λan-n²,

已知数列｛an｝是等比数列，Sn为其前n项和，设S3=3/2，S6=21/16，bn=λan-n²,求实数λ的取值范围
S3=2分之3，S6=16分之21

Answer 1

S6/S3=(1-q^6)/(1-q^3)=1+q^3=(21/16)/(3/2)=7/8
q=-1/2
S3=a1(1-q^3)/(1-q)=3/2
a1=2
an=a1*q^n=2*(-1/2)^n
b1=2X-1
若{bn}数列是单调递减数列,
则b(n+1)<bn
bn=X*an-n*n=2X*(-1/2)^n-n^2
b(n+1)=2X*(-1/2)^(n+1)-(n+1)^2=-X*(-1/2)^n-n^2-2n-1
bn-b(n+1)=3X*(-1/2)^n+2n+1>0
当n=1时,bn-b(n+1)=-3X/2+3>0
解得X<2
当n=2时,bn-b(n+1)=3X/4+5>0
解得X>-20/3
当n>2时,
-1/8≤(-1/2)^n≤1/16
代入解得-56/3<X<48
所以要让bn是单调递减数列,X的取值范围是-20/3<X<2

Answer 2

a(1)=5/6, n>1时， a(n+1)=a(n)/3+(1/2)^(n+1),a(2)=a(1)/3+(1/2)^2=5/18+1/4=19/36 a(n) = a(n-1)/3+(1/2)^n, a(n)/2 = a(n-1)/6+(1/2)^(n+1), b(n)=a(n+1)-a(n)/2 = a(n)/3-a(n-1)/6 = [a(n)-a(n-1)/2]/3 = b(n-1)/3 {b(n)}是首项为b(1)=a(2)-a(1)/2=19/36-5/12=1/9,公比为1/3的等比数列。 a(n+1)-a(n)/2=b(n)=(1/9)(1/3)^(n-1)=(1/3)^(n+1), 3^(n+1)a(n+1) = 1 + (3/2)3^na(n), 3^(n+1)a(n+1)+2=(3/2)[3^na(n)+2], {3^na(n)+2}是首项为3a(1)+2=3*5/6+2=9/2,公比为3/2的等比数列。 3^na(n)+2=(9/2)(3/2)^(n-1)=3*(3/2)^n, a(n) = [3*(3/2)^n - 2]/3^n = 3/2^n - 2/3^n