Question

一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，在展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，...

一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，在展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE。求证四边形AFCE是菱形，若AE等于10厘米。三角形ABF的面织为24，求三角行ABF得周长？

Answer 1

证明：连接AC并与EF相交于点O
因为一张矩形纸片ABCD将纸片折叠一次，使点A与点C重合
所以EF垂直平分AC于O
所以OA=OC
角AOE=角COF=90度
AD平行BC
所以角OAE=角OCF
所以三角形OAE和三角形OCF全等(ASA)
所以OE=OF
所以对角线AC和EF互相垂直平分
所以四边形AFCE是菱形
因为三角形ABF的面积=1/2*AB*BF=24
所以AB*BF=48
AF^2=AB^2+BF^2
因为AF=AE=10厘米
所以AB^2+BF^2=100
AB+BF=14 (1)
AB-BF=2 (2)
由（1)和（2）建立方程组并解得：
AB=8
BF=6
因为三角形ABF的周长=AB+BF+AF=10+8+6=24厘米
所以三角形ABF的周长=24厘米

Answer 2

链接AC交ef于G ，因为折叠AE=EC,AF=FC
<EAC=<ECA,<ACF=<AFC 又因为ae//fc <EAC=<ECA=<ACF=<AFC所以AE=EC=AF=FC所以四边形AFCE是菱形
S=AB*BF/2=AF^2sin2<BAF/4=24 sin2<BAF=24/25=(sin<BAF+cos<BAF)^2-1
sin<BAF+cos<BAF=7/5 (负数舍)

c=AB+BF+AF=10*(1+cos<BAF+sin<BAF)=10*（1+7/5)=24

Answer 3

连接AC
易证，EF是AC的中垂线
即可证明四边形AFCE是菱形

可以算出三角形ABF的三边长为6、8、10，其周长为24

Answer 4