Question

已知：a>0,b>0,c>0，若a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b)。求b/(a+c)的最小值.

Answer 1

本题本质为不等式问题，偏竞赛训练类型。
设x=b/（a+c），y=a/（b+c），z=c/（a+b）
则有x=y+z，求x的最小值
1/x=(a+c)/b，b/x=a+c
a+b+c=b+b/x=b[1+(1/x）]
同理可得a+b+c=a[1+(1/y)]=c[1+(1/z)]=b[1+(1/x)]
于是a=[1+(1/x)]b/[1+(1/y)]，c=[1+(1/x)]b/[1+(1/z)]
代入x=b/（a+c）得
x=b/{[1+(1/x)]b/[1+(1/y)]+[1+(1/x)]b/[1+(1/z)]}
化简得x=（1-yz)/(yz+y+z+1)
而x=y+z
于是x=（1-yz)/(yz+x+1)
得yz=（1-x²）/（2x+1）
因为0＜yz≤（y+z）²/4
于是0＜（1-x²）/（2x+1）≤x²/4
左边得x＜1，右边为2x³+5x²-4≥0【为三次不等式】
观察等号为y=z时成立,此时a=c【下面先找三次方程的根】
x=b/2a，z=y=a/（b+a）
b/2a=2a/（b+a），得b²+ab-4a²=0
（b/a）²+（b/a）-4=0，得b/a=（-1+√17）/2，x=b/2a=（-1+√17）/4
将x=（-1+√17）/4代入2x³+5x²-4得0【找到x1=（-1+√17）/4为该三次方程的一个跟】
令t=（-1+√17）/4，则2x³+5x²-4=2（x-t)(x²+tx+t²）+5（x-t)(x+t)
=(x-t)(2x²+2tx+2t²+5x+5t）
于是2x³+5x²-4≥0即（x-t)(2x²+2tx+2t²+5x+5t）≥0
因为x＞0，t＞0，于是因式2x²+2tx+2t²+5x+5t＞0
解为x≥t=（-1+√17）/4
于是x的最小值为（-1+√17）/4

Answer 2

我认为不要理这么多,把a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b)改为
b/(a+c)=a/(b+c)+c/(a+b)这么想 b/(a+c)的最小值就一目了然了.

追问

求大神，给过程

追答

a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b)和b/(a+c)=a/(b+c)+c/(a+b)
这二个公式是一样的,因为a>0,b>0,c>0,因此b/(a+c)的最小值是a/(b+c)+c/(a+b)这个值了

主要是a,b,c取多少了，在这上只能知道b/(a+c)>0