Question

设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1,λ2,λ3,对应特征向量为ξ1,ξ2,ξ3,B=A^3-(λ1+λ2+λ3)A^2

设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1,λ2,λ3,对应特征向量为ξ1,ξ2,ξ3,B=A^3-(λ1+λ2+λ3)A^2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)A,证明ξ1,ξ2,ξ3的任意非零线性组合都是B的特征向量。

Answer 1

Answer 2

这么多财富一点也不出哈

追问

回答了再追加

追答

由已知, Aξi = λiξi, i=1,2,3所以有 A^2ξi = λiAξi = λi^2ξi, i=1,2,3
同理有 A^3ξi = λi^3ξi, i=1,2,3
所以 Bξi=[A^3-(λ1+λ2+λ3)A^2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)A]ξi
= A^3ξi-(λ1+λ2+λ3)A^2ξi+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)Aξi
= λi^3ξi-(λ1+λ2+λ3)λi^2ξi+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λiξi
= [λi^3-(λ1+λ2+λ3)λi^2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λi]ξi

所以 B(k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3)= k1Bξ1+k2Bξ2+k3Bξ3
= ∑kiBξi (对i=1,2,3求和, 下同)
= ∑ki[λi^3ξi-(λ1+λ2+λ3)λi^2ξi+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λiξi]
= ∑[λi^3kiξi-(λ1+λ2+λ3)λi^2kiξi+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λikiξi]
= λ1^3k1ξ1+λ2^3k2ξ2+λ3^3k3ξ3
-(λ1+λ2+λ3)λ1^2k1ξ1-(λ1+λ2+λ3)λ2^2k2ξ2-(λ1+λ2+λ3)λ3^2k3ξ3
+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λ1k1ξ1+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λ2k2ξ2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λ3k3ξ3
--注意其中k1ξ1的系数为:
-- λ1^3-(λ1+λ2+λ3)λ1^2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λ1=λ1λ2λ3
--同样 k2ξ2,k3ξ3的系数都是λ1λ2λ3
= λ1λ2λ3(k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3)
所以当k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3≠0时, k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3是B的属于特征值λ1λ2λ3的特征向量.

*********************************
简单证法:
由已知, ξ1,ξ2,ξ3仍是B的分别属于特征值
λ1^3-(λ1+λ2+λ3)λ1^2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λ1=λ1λ2λ3,
λ2^3-(λ1+λ2+λ3)λ2^2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λ2=λ1λ2λ3,
λ3^3-(λ1+λ2+λ3)λ3^2+(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)λ3=λ1λ2λ3
的特征向量.
所以ξ1,ξ2,ξ3的任意非零线性组合仍是B的属于特征值λ1λ2λ3的特征向量