Question

已知ABC是锐角三角形ABC的三个内角，A,B,C的对边分别为a,b,c

已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，A,B,C的对边分别为a,b,c，若cos(A-C)-cos(A+C)=3/2,且b的2次方=ac,求角B的值，若B=根号3，求三角形ABC的周长

Answer 1

答：
（1）
cos(A-C)-cos(A+C)=3/2
2sinAsinC=3/2
sinAsinC=3/4
因为：b^2=ac，所以：a/b=b/c
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以：a/b=sinA/sinB=b/c=sinB/sinC
(sinB)^2=sinAsinC=3/4
sinB=√3/2
B=60°或者B=120°（不符合锐角三角形需舍去）
因为三角形ABC是锐角三角形，所以B=60°

（2）
sinAsinC
=sinAsin(180°-60°-A）
=sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）
=√3sinAcosA/2+sinAsinA/2=3/4
所以：√3sin2A-cos2A=2
结合：(sin2A)^2+(cos2A)^2=1解得：
sin2A=√3/2，cos2A=-1/2
2A=120°,A=60°
结合（1）知道：A=B=C=60°
所以a=b=c=√3
周长为3√3

Answer 2

∠A+∠B+∠C=π
∠B=π-（∠A+∠C）
∴COSB=COS[π-（∠A+∠C）]=-COS(A+C)
原式=COS(A-C)-COS(A+C)=3/2
根据两角和与差的正余弦公式，得：
cosAcosC+sinAsinc-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC=3/2
即sinAsinc=3/4
根据正弦定理。a/sinA=b/sinB=c/sinC 及b^2=ac
∴sin²B=sinAsinC=3/4
∴sinB=（√3）/2
又因为∠B不是钝角
即∠B=60°