Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(3,0) C(0,3)三点.

27.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(3,0) C(0,3)三点。
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点p.使PC+PA最小，并求出点P的坐标；
（3）若直线y=2x+m2-2m-2与抛物线y=ax2+bx+c交于MN两点，当线段MN长度最小时，求m的值及线段MN的长

Answer 1

待定系数法得抛物线方程y=x²-4x+3；
（2）A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．

连接BC，直线BC与直线l的交点为P；

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：0＝3k+b,3=0+b

，解得：k=-1,b=3

∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；

当x=2时，y＝1，即P的坐标(2，1)．
(3)
先令n=m²-2m-2，则直线方程为y=2x+n；
将直线方程代入抛物线方程，消去y，得x²-6x+3-n=0，Δ=36-4(3-n)>0，n>-6；
设M，N的横坐标分别为x1，x2，则有x1+x2=6，x1*x2=3-n；
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|MN|=√1+2² |x2-x1|=√5*√(x1+x2)²-4x1*x2 =2√5*√n+6 =2√5*√m²-2m+4=2√5*√(m-1)²+3
当m=-1时，|MN|有最小值，此时n=-3>-6满足前提条件，因此|MN|=2√15.

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