Question

fx是连续函数，且满足 ∫0到x f(t)dt=∫x到1 t^2 f(t)dt +x^16/8+x^18/9 求f(x)？？？？？？？？？？？

fx是连续函数，且满足 ∫0到x f(t)dt=∫x到1 t^2 f(t)dt +x^16/8+x^18/9 求f(x)？？？？？？？？？？？

Answer 1

∫0到x f(t)dt=∫x到1 t^2 f(t)dt +x^16/8+x^18/9，两边求导得：
f(x)=-x^2f(x)+2x^15+2x^17
f(x)=(2x^15+2x^17)/(1+x^2)=2x^15

追问

麻烦你给我说下∫x到1 t^2 f(t)dt 求导怎么得来x^2f(x)的?
是不是可以把t^2 当常数看提前再用公式解？它和∫x到1 x^2 f(t)dt 有什么区别?

追答

讲定积分时有个牛顿—莱布尼兹等式：
对积分上限的导数的求法：
【∫（a，x）g(t)dt 】'=g(x),就是把被积函数的t改成x
那么：∫x到1 t^2 f(t)dt =-∫1到x t^2 f(t)dt g(t)=t^2 f(t)
导数=-x^2f(x)

Answer 2

两边对x求导，得
f(x)= -x^2 f(x)+2x^15 +2x^17
(1+x^2) f(x)=2x^15 +2x^17
(1+x^2) f(x)=2x^15(1+x^2)
故f(x)=2x^15

追问

麻烦你给我说下∫x到1 t^2 f(t)dt 求导怎么得来x^2f(x)的?
是不是可以把t^2 当常数看提前再用公式解？它和∫x到1 x^2 f(t)dt 有什么区别?

追答

∫x到1 t^2 f(t)dt ， t^2 f(t)是积分函数 ，你再看dt 说明积分变量是t ，所以含t的式子求导后都得带进x，x^2f(x)
相反地积分变量是t，那么在积分函数里x可相当于常数，但是x是属于整体变量，（积分变量是t）
所以∫x到1 x^2 f(t)dt不能直接求导，的提出x x^2∫x到1 f(t)dt 然后再求导 等于
2x∫x到1 f(t)dt -x^2f(x)

追问

你好厉害哦，
随便点一下我就明白了。。。。非常感谢！

Answer 3

左右求导呗