求函数 y= 根号(x^2+9)+ 根号(x^2-8x+41) 的最小值

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ccchu0
2008-05-21 · TA获得超过800个赞
知道小有建树答主
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又发现一个方法,
这个方法根据是不等式
根号(a^2+b^2)+根号(c^2+d^2)>=根号((a+c)^2+(b+d)^2)
所以y>=根号(4^2+(3+5)^2)=4根号5;
在x=1.5时取得最小值。
下面是昨天做的方法。

//好难啊,不等式都忘光了,只能构造图形来求了。
我算的最小值由x=1.5得到,由于计算出y是无理数,就不写y了。
证明如下:
y=根号(x^2+9)+根号(4-x)^2+25;
构造两个直角三角形,直角三角形ABC,直角边AB=3;AC=x;
直角三角形A'B'C,直角边A'B'=5,A'C=(4-x);
其中两个三角形共顶点C,并且两个角C是对顶角,
那么很明显,y=BC+CB';并且AA'=x+4-x=4是固定长度;
问题转化为在AA'中选一点C,使得B经过C点到B'距离最短,
很明显连接BB'的直线最短,所以变成求解三角形了。
由三角函数知识,
3/tanC+5/tanC=4
=>tanC=2;
=>x=AC=3/tanC=1.5;
所以x=1.5时取得最小值。
戒贪随缘
推荐于2016-04-22 · TA获得超过1.4万个赞
知道大有可为答主
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  数学上函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数m满足:①对于任意实数x∈A,都有f(x)≥m,②存在x0∈A,使得f (x0)=m,那么我们称实数m是函数y=f(x)的最小值;如果存在实数M满足:①对于任意实数x∈A,都有f(x)≤M,②存在x0∈A,使得f (x0)=M,那么我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。
  本题 对函数y=√(x^2+9)+ √(x^2-8x+41)
  y=√((x-0)^2+(0-3)^2)+ √((x-4)^2+(0+5)^2)
  设P(x,0),C(0,3),D(4,-5)
  则y就是x轴上的动点P到上半平面的定点C和下半平面的定点D的距离之和
  当C、P、D共线时y最小
  直线CD的方程是:2x+y-3=0
  它与x轴的交点是(3/2,0)
  得当P在(3/2,0)处,即x=3/2时,y取到最小值|CD|
  而|CD|=4√5
  所以y的最小值是4√5
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梦之林Ayumi
2012-09-24
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解:因为y=(x-0)2+(0-3)2+(x-4)2+(0-5)2,
所以函数y是x轴上的点P(x,0)与两定点A(0,3)、B(4,5)距离之和.
y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.
由平面几何知识可知,若A关于x轴的对称点为A′(0,-3),
则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|,
即(4-0)2+(5+3)2=45.
所以ymin=45.
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