Question

当n属于N且n>1时,求证2<[(1+1/n)]^n<3

Answer 1

用C(m,n)(其中m<=n)表示n个里面取m个的组合数.
用二项式定理:
(1 1/n)^n
=1 C(1,n)/n C(2,n)/n^2 ... C(k,n)/n^k ... 1/n^n
=1 1 C(2,n)/n^2 ... C(k,n)/n^k ... 1/n^n
>2
不等式左边得证.

考虑展开式通项:
C(k,n)/n^k
=n!/[k!(n-k)!n^k]
=(1/k!){n!/[(n-k)!n^k]}
而
n!/[(n-k)!n^k]
=n(n-1)...(n-k 1)/n^k
=(n-1)...(n-k 1)/n^(k-1)
<1(由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘）
因此
C(k,n)/n^k<1/k!
所以
1 C(1,n)/n C(2,n)/n^2 ... C(k,n)/n^k ... 1/n^n
<1 1 1/2! 1/3! ... 1/k! ... 1/n!
=(1 1) (1/2!)[1 1/3 1/(3*4) 1/(3*4*5) ... 1/(3*4*...*n)]
<2 (1/2)(1 1/3 1/3^2 1/3^3 ... 1/3^(n-2)]
=2 (1/2)[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)
<2 (1/2)/(1-1/3)
=2 3/4
=11/4
<3
不等式右边也得证.
所以2<=(1 1/n)^n<3