Question

函数y=1/(1-x)的图像与函数y=2sinx（-2≤X≤4）的图像所有交点的横坐标之和

Answer 1

答案应该是8
令z=1-x,即x=1-z；则y=1/(1-x)变为y=1/zy=2sinπx变为y=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]=2sinπz因-2<=x=<4，故-4<=-x=<2,-3<=1-x<=3,即-3<=z<=3这样可知y=1/z与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数令f(z)=1/z-2sinπz,则若有z0使得f(z)=0,则必有-z0也使f(z)=0成立。此时x的值分别为1-x0，1+x0，他们的和为2。另外由于y=1/z有意义，故z≠0，排出了交点为奇数个的情形。问题转化为求f(z)=1/z-2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的问题。只看z>0一边，简单的画一下y=1/z与y=2sinπz的图像，显然当z=1/2时，1/z=2，2sinπz=2这是一个交点并且此时1/z的切线斜率小于0，而2sinπz的切线斜率等于0这样两者在(1/2,1)上还有一个交点；显然在(2,5/2)(5/2,3)上还各有一个交点。共有四对交点，结果是8.