Question

如图，梯形ABCD中，AB平行DC，E为AD上一点，且BE平分角ABC，CE平分角BCD。

求证：E为AD的中点。

Answer 1

证明：F为BC的中点，连接EF

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠DCB=180°

∵∠EBC=1/2∠ABC，∠ECB=1/2∠DCB

∴∠EBC+∠ECB=1/2(∠ABC+∠DCB)=90°

∴∠BEC=90°

∵F为BC的中点

∴EF=BF=FC

∴∠FEC=∠ECF

∴∠BFE=∠FEC+∠ECF=2∠ECF

又∠DCB=2∠ECF

∴∠BFE=∠DCB

∴EF∥CD∥AB

又F为BC的中点

∴E为AD的中点

Answer 2

做EF∥AB交BC于F
∴∠DCE=∠CEF
∵CE平分∠BCD
∴∠CDE=∠BCE
∴∠BCE=∠FCE=∠CEF
∴EF=CF
同理EF=BF
∴F是BC的中点
∵AB∥EF∥CD
∴AE=DE
∴E为AD的中点