Question

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于?只有一个答案是18，为什么x=-3没极值

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Answer 1

f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a²在x＝1处有极值10
则 f(1)＝1＋a＋b＋a²=10，f'(1)=3+2a+b=0
∴ a=4，b=-11
(a=-3,b=3时，f'(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²在x=1时为拐点,舍去)--（这步是检验的）
（大家说的拐点就是单调递增和单调递减的交界处，例如二次函数图象对称轴的位置就是他们说的拐点。其实你想f'(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²是大于等于0的，那么f(x)就是单调递增的，不会有极值点。）
f(2)=2³＋4×2²-11×2＋4²=18

Answer 2

解：f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a²在x＝1处有极值10
则 f(1)＝1＋a＋b＋a²=10，f'(1)=3+2a+b=0
∴ a=4，b=-11(a=-3,b=3时，f'(x)=3x²-6x+3=3(x-1)²在x=1时为拐点,舍去)
f(2)=2³＋4×2²-11×2＋4²=18

追问

额，什么是拐点，我们老师没说过，这是资料书上找的题

追答

拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数必为零或不存在。
本题中，在x=1的两侧f'(x)＞0，即在x＜1上为增函数，在x＞1上也为增函数，故不是极值点，不符合题意。

追问

哎，看来晚上做数学脑袋不够用啊，怎么读都读不懂呢，额，首先f'(x)＞0，为什么f'(x)要大于0啊，不是极值时应该等于0吗。然后x＜1 x＞1怎么来的啊。最后，麻烦你了，现在学习状态确实不好

追答

f'(x)在x=x0两侧的符号相反，且f'(x0)=0，则 f(x)在x=x0时取得极值

Answer 3

a有没有限制条件啊？a算出来有两个值，对应有两个b，a=4时还有个极值是x=-11/3,a=-3时只有极值x=1

追问

没有限制条件，反正当a=-3，b=3时，f‘（x）=3（x-1）^2，资料书上说是大于等于0

追答

我水了，那是拐点

追问

额，什么是拐点，我们老师没说过，这是资料书上找的题