Question

一个自然数除以2.3.4.5，结果都余1，这样的数有（ ）个，最小的数是（ ）

Answer 1

了好久的书才来做这个题，中国古代有一种算法叫做“大衍求一术”，简单点儿解释就是：求一个数N，使得它被A1除余r1，被A2除余r2，被A3除余r3，被A4除余r4……。写成代数式就是：N=A1q1+r1=A2q2+r2=A3q3+r3=A4q4+r4=……那么“大衍求一术”要求我们首先找到一个数M1，它除以A1余1，而同时又被B1=A2×A3×A4整除；再找一个数M2，它除以A2余1，而同时又被B2=A1×A3×A4整除；再找一个数M3，它除以A3余1，而同时又被B3=A1×A2×A4整除；再找一个数M4，它除以A4余1，而同时又被B4=A1×A2×A3整除；如此等等。以上一系列“求一”的过程，相当于解一系列不定方程：BiX+AiY=1，（i=1，2，3，4……）。那么，当A1，A2，A3，A4互质的时候，利用辗转相除法，可以求得上面不定方程的解Xi（i=1，2，3，4……）。于是，若令Mi=BiXi，那么M1r1+M2r2+M3r3+M4r4就是一个被A1除余r1，被A2除余r2，被A3除余r3，被A4除余r4的数，它加上或减去A1×A2×A3×A4依然具有同样性质。

现在利用上述性质做这道题：
先求被11除余1且被13×17×19=4199整除的数。用辗转相除法：4199-11×381=8；11-8=3；8-3×2=2；3-2=1；所以1=3-2=3-（8-3×2）=3×3-8=（11-8）×3-8=11×3-8×4=11×3-（4199-11×381）×4=-4199×4+11×1527，所以求得M1=-4199×4=-16796。用同样方法，还可求得M2=-10659，M3=-16302，M4=-2431。题中r1=5，r2=6，r3=8，r4=9，从而M1r1+M2r2+M3r3+M4r4=-300229，注意到11×13×17×19=46189，所以被11除余5，被13除余6，被17除余8，被19除余9的最小自然数是-300229+46189×7=23094。

如果楼主不明白什么是辗转相除法，自己去找点资料看看吧，很容易理解的。
终于做完了，打了好久字的说，呵呵，打完收工！

Answer 2

一个自然数除以2.3.4.5，结果都余1，这样的数有（ 无数）个，最小的数是（ 61）

Answer 3

一个自然数除以2.3.4.5.结果都余1，这个数是2、3、4、5的公倍数+1
为：4*3*5=60+1
有无数个
最小是61

Answer 4

无数个，最小的是*3*4*5+1=121

Answer 5

有无数个，最小的是61