Question

高中解析几何题

已知F1、F2是椭圆x2/4+y2=1的两个焦点,M是椭圆上的动点，求（1/丨MF1丨）+ （1/丨MF2丨）的最小值

Answer 1

思路：MF1+MF2=2a（a为长半轴）把1/MF1+1/MF2通分得分子为MF1+MF2=2a 分母为MF1*MF2
求出MF1*MF2最大，那整个值就最小了。

解：
x²/4+y²=1可知：a=2，b=1，c=√3，
a-c≤|MF2|≤a+c 得：2-√3≤|MF2|≤2+√3
设|MF2|=n，|MF1|*|MF2=m，
∵|MF1|=2a-|MF2|=4-|MF2|=4-n
∴m=|MF1|*|MF2|=(4-n)n=4n-n²=-(n-2)²+4≤4
m=|MF1|*|MF2|的最大值为4
∴1/|MF1|+1/|MF2|
=(|MF1|+|MF2|)/|MF1|*|MF2|≥2a/4=4/4=1
所求求1/|MF1|+1/|MF2|的最小值为4。

追问

最小值是1吧，你打错了。

追答

对的！ 最小值是1，最后一个数字写错了，不好意思啊。

Answer 2

设|MF1|=m，|MF2|=n
则有m+n=2a=4
1/m+1/n=(m+n)(1/m+1/n)/4=(2+m/n+n/m)/4≥(2+2)/4=1.
当m=n=2时，取得最小值1.

追问

你这方法很简单！

Answer 3

设M点(xm,ym),满足椭圆方程：
xm^2/4+ym^2=1 ym^2=1-xm^2/4=(4-xm^2)/4 (1)
a^2=4,b^2=1,则c^2=a^2-b^2=4-1=3
两焦点的坐标为F1(√3,0),F2(-√3,0)
|MF1|=√[(xm-√3)^2+(ym-0)^2]=√[(xm-√3)^2+ym^2]
|MF2|=√[(xm+√3)^2+(ym-0)^2]=√[(xm+√3)^2+ym^2]
因为M在椭圆上，由椭圆的性质可知：
|MF1|+|MF2|=2a=2*2=4
(1/|MF1|)+(1/|MF2|)=(|MF1|+|MF2|)/(|MF1|*|MF2|)=4/(|MF1||MF2|)
|MF1||MF2|=√[(xm-√3)^2+ym^2] *√[(xm+√3)^2+ym^2]
=√{(xm-√3)^2(xm+√3)^2+[(xm+√3)^2+(xm-√3)^2]ym^2+ym^4}
=√[xm^4-6xm^2+9+(2xm^2+6)ym^2+ym^4] (将（1）代入)
=√[xm^4-6xm^2+9+(2xm^2+6)(4-xm^2)/4+(4-xm^2)/16]
=√[16xm^4-96xm^2+144+32xm^2-8xm^4+96-24xm^2+16-8xm^2+xm^4]/4
=√(9xm^4-96xm^2+256)/4=(16-3xm^2)/4
(1/|MF1|)+(1/|MF2|)=(|MF1|+|MF2|)/(|MF1|*|MF2|)=4/(|MF1||MF2|)
=4/[(16-3xm^2)/4]
=16/(16-3xm^2)
其值最小，要求16-3xm^2的值最大，其中-2<=xm<=2
当xm=0时，16-3xm^2最大，最大值为16
所以(1/|MF1|)+(1/|MF2|)的最小值为16/16=1.