Question

在平面直角坐标系中.已知点A(3,0).第一象限内的点P在直线y=2x上.∠PAO=45°

（1）求点P的坐标；
（2）如果二次函数的图像经过P,O,A三点,求这个二次函数的解析式；并写出它的图像的顶点M的坐标；（3）如果将（2）小题的二次函数的图像向上或向下平移,使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处,求△APM与△APQ的面积之比.

Answer 1

∠PAO=45°, 直线PA的倾斜角为180-45=135°，PA的斜率为tan135° = -1
PA的方程：y - 0 = -1(x - 3)
x + y - 3 = 0
与y = 2x联立, P(1, 2)
二次函数过点O和A(3, 0)，则其方程可表达为y = a(x-0)(x-3) = ax(x-3)
二次函数过点P(1, 2), 2 = a*1(1-3), a = -1
y = -x(x-3)
对称轴为x = (0+3)/2 = 3/2
顶点M(3/2, 9/4)
对称轴与y=2x的交点为Q(3/2, 3)
Q与AP的距离q = |3/2 + 3 -3|/√2 = 3√2/4
M与AP的距离m = |3/2 + 9/4 -3|/√2 = 3√2/8
三角形APM与三角形APQ的底均为AP，其面积之比=AP上的高之比= m ：p = 3√2/8 : 3√2/4
= 1:2

Answer 2

（1）设P（n,2n）,因为角PAO=45度，所以3-n=2n,n=1,P的坐标是（1,2） （2）设函数解析式是y=ax�0�5+bx+c,因为P,A,O三点在函数图像上，所以a+b+c=2,9a+3b+c=0,c=0,解得a=-1,b=3,函数解析式是y=-x�0�5+3x,顶点（3/2,9/4）