Question

高二数学题.求解

已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点
⑴求这抛物线和双曲线的方程
⑵已知动直线m点过点P(3,0),交抛物线于A、B两点,记以线段AP为直径的圆为圆C,求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值,并求出直线l的方程

Answer 1

百度的，参考哈
1、
抛物线显然开口向右，顶点在原点，则其形式为y² = 2px
过点M(1, 2): 4 = 2p, p = 2, 焦点F(1, 0)
抛物线方程: y² = 4x

c = 1, c² = a² + b² = 1, b² = 1 - a²
双曲线: x²/a² - y²/(1 - a²) = 1
过点M(1, 2): 1/a² - 4/(1 - a²) = 1
a⁴ - 6a² + 1 = 0
a² = 3 - 2√2 (舍弃a² = 3 + 2√2, 此时b² < 0)
b² = 1 - a² = 2√2 - 2
双曲线: x²/(3 - 2√2) - y²/(2√2 - 2) = 1

2、
抛物线方程: y² = 4x

设A(m，n)，(m＞0)(m=0时，l与抛物线只有一个交点)
有n²=4m，
则n=±2√m，
故A(m，±2√m)，
又P(3，0)，
则以AP为直径的圆的圆心(m/2+3/2，±√m)，
半径r²=|AP|²/4=[(m-3)²+4m]/4=2+(m-1)²/4，
即圆方程为(x-m/2-3/2)²+(y±√m)²=2+(m-1)²/4，
设存在l′，为x=u，故带入圆方程，
(u-m/2-3/2)²+(y±√m)²=2+(m-1)²/4，
整理得y²±2√my+u²-u(m+3)+3m=0，
有y1+y2=±2√m，y1y2=u²-u(m+3)+3m，
因为弦长为|y2-y1|，
故|y2-y1|²=(y1+y2)²-4y1y2=4m-4u²+4u(m+3)-12m=-4u²+12u+4(u-2)m，
欲使弦长为定值，那么弦长里A点横坐标m的系数就该为0，否则弦长就与m有关，
故4(u-2)=0，u=2，此时|y2-y1|²=8，
即存在直线l′：x=u=2，使截得弦长为定值(2√2)。

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