Question

已知函数f(x)=ax²+bx+1(a≠0)对于任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x),且函数y

=f(x)+2x为偶函数；函数g(x)=1-2的X次方（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：方程f(x)+g(x)=0在区间【0,1】上有唯一实数根；（3）若有f(m)=g(n),求实数n的取值范围。

Answer 1

(1)由题意可知：函数f(x)对称轴为x=1
又f(x)+2x为偶函数
∴b=-2
-b/2a=1
∴a=1
∴f(x)=x^2-2x+1
(2)f(x),g(x)在[0,1]上单调递减
f(0)+g(0)=1,f(1)+g(1)=-1
∴方程f(x)+g(x)=0在区间【0,1】上有唯一实数根
(3)f(m)≥0
∴g(n)=1-2^n≥0
∴n≤0

追问

第二问可不可以写在［0，1］上有零点来证明…

追答

可以

Answer 2

由f(1+x)=f(1-x)可得a=-0.5b 代入y得b=-2 a=1 所以f(x)=x²2x+1 (2)用中值定理可证明