Question

设f(x,y)=|x-y|g(x,y),其中g(x,y)在(0,0)连续且g(0,0)=0, 怎么判断他是否可微...

Answer 1

af/ax=lim 【f(x，0)－f(0，0)】/(x－0)=lim |x|g(x，0)/x，只有g(0，0)=0时极限才存在且为0。
同理af/ay=0，条件也是g(0，0)=0。再看
【f(x，y)－f(0，0)－x*af/ax－y*af/ay】/根号(x^2+y^2)＝|x－y|g(x，y)/根号(x^2+y^2)
注意到|x－y|<=|x|+|y|<=2根号(x^2+y^2)，因此上式在g(0，0)=0时有极限0，于是f(x，y)在原点可微。
综上，当g(0，0)=0时f可微，否则不可微。