高中数学分组分配问题,什么情况下要除以一个全排列?举例说明最好,万分感激,好的加分。

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徐雅逸Or
2013-04-24 · TA获得超过2744个赞
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  高中数学分组分配问题,什么情况下要除以一个全排列

  平均分组,一定要除以组数的全排列。
  

  分组不同于排列,因为排列要顺序,而分组,组与组之间是没有顺序的。

  例如:把1,2,3,4,5,6分为三组每组两个,可能是(1,2)(3,4)(5,6)也可能是(1,2)(5,6)(3,4)或者
  (5,6)(1,2)(3,4)和(5,6)(3,4)(1,2)和(3,4)(1,2)(5,6)
  和(3,4)(5,6)(1,2).一共有A(3,3)种不同的组别,但这些组都是一样的,所以得除以A(3,3)[就是组数的全排列].

  又例如:
  6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法
  1.分给甲乙丙三人,每人2本;
   2.分为三堆,每堆2本.

  解:1.
  先给甲:六本选两本,选法为:
  6*5除以2=15
  再给乙:四选二,选法为:
  4*3除以2=6
  剩下就是丙的了,选法为:C(2,2)=1
  所以分给甲乙丙三人,每人2本;不同的选法为:15*6=90

  即不同的选法为:
  C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=15*6*1=90;

   2.
  因为每次挑2本作为一堆,实际上是考虑了顺序的,会有重复,重复数为堆数的全排列A(3,3),
  故需把分好的三堆的选法数[C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)],除以堆数的全排列A(3,3),
  得不同的选法为:
  [C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)]/A(3,3)=15.

  问题关键在于理解排列与组合的区别:组合是无序的,排列是有序的。
  分成3堆的话3个元素进行有序组合,相同的3个元素一共有3的阶乘种排列方法,而题2.分为三堆,每堆2本.要求的是无序的组合,所以除以3的阶乘。
  就是排列组合学上所说的消序,也可以理解成消去重复元素的意思,
  比如12 ,21是两种排列,却是一种组合,平均分组需消去重复元素,即组合只有一个,需除以二的阶乘,原理是一样的。

  当然
  题1.分给甲乙丙三人,每人2本。
  也可这样解:
  先分成三堆,每堆2本。
  不同的分法为:
  [C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)]/A(3,3)=15.
  再把三堆分给甲乙丙三人,
  不同的分法为:
  A(3,3)=6.
  由乘法原理得,分给甲乙丙三人,每人2本的分法为:
  15*6=90.
  
追问
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