Question

如图10.在梯形ABCD中，AB∥BC，E为BC的中点，BC为2AD，EA=ED=2,AC与ED相交于点F

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

Answer 1

1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB=ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=根号3，
∴S菱形AECD=EC•AG=2×根号3=2根号3

Answer 2

（1）证明：∵E为BC的中点∴BC=2BE=2CE
∵BC为2AD∴AD=BE=EC
∵AD∥BC∴四边形AECD、ABED都是平行四边形
∴AB=ED AE=CD
∵AE=ED∴AB=CD∴梯形ABCD是等腰梯形
(2)解：AB⊥AC。理由如下：
∵平行四边形ABED中，AB∥ED∴AC⊥DE∴平行四边形AECD是菱形
∵菱形中，EF=1/2ED=1，AE=2，∠AFE=90°∴AF=√(AE²-EF²)=√3∴AC=2AF=2√3
∴S菱形=1/2 AC×DE=1/2×2√3×2=2√3

Answer 3

(1)
EA=ED ==>三角形EAD为等腰三角形 ==>角ADE=角DAE=角AEB=角DEC
又BE=EC ==>三角形AEB与DEC全等 ==>AB=CD ==>梯形ABCD是等腰梯形
(2)
AD∥BC，CE=AD ==>四边形AECD是平行四边形
当AB垂直于AC时，DE垂直于AC，这时四边形AECD是菱形。
其面积=2*2*根号（2^2-1^2)=4*根号3

Answer 4

（1）因为E为BC的中点
所以BE=EC=1/2BC
又因为BC为2AD,
即AD=1/2BC
所以BE=EC=AD
又因为AB//BC
所以四边形ABED与四边形AECD均为平行四边形
所以AB=ED,EA=CD
又因为EA=ED
所以AB=CD
所以梯形ABCD是等腰梯形。
（2）当AB与AC垂直时，四边形AECD是菱形。
理由就不用说了吧，同位角嘛~
利用相似和（1）中得的结论，求得面积是2倍根号3

Answer 5

请问，问题没有出错么？还是图错了？AB和BC怎么可能平行？

追问

对不起是AD∥BC 打错

追答

平行四边行里面，对角线相互垂直时，为棱形。

棱形面积公式用对角线相乘在除二就是了。

希望对你有用。