Question

已知函数y=x+a/x有如下性质：如果常数a＞0,那么该函数在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数

1 如果函数y=x+（2^b）/x（x＞0）的值域为【6，+无穷）求b的值 2 研究函数y=x^2+c/（x^2）（c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由 3 对函数y=x+a/x和y=x^2+a/（x^2）（a＞0）作出推广，使他们都是你所推广函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明）

Answer 1

（1） y=x+（2^b）/x（x＞0）值域为6时，2^b=9,所以 b=log(2) 9
（2）y=x^2+c/（x^2）（c＞0）有y=u+c/u, u=x^2复合而成，u=x^2在[0,4√c ],[4√c，+∞]递增,对应y=u+c/u在(0,√c]递减，在[√c,+∞)递增，
所以（0，+∞）内（0,4√c ]为递减，[4√c，+∞]为递增
y=x^2+c/（x^2）为偶函数，[-4√c，0 ）为递增，[-∞，-4√c ]为递减
所以 递增区间为[-4√c，0 ），[4√c，+∞] 递减区间为[-∞，-4√c ]，（0,4√c ]
（3）推广函数： y=x^n+a/（x^n）（a>0）
n为偶数时 y=x^n+a/（x^n）（a＞0）为偶函数
递增区间为[-2n√a，0 ），[2n√a，+∞] ， 递减区间为[-∞，-2n√a ]，（0,2n√a ]
n为奇数时 y=x^n+a/（x^n）（a＞0）为奇函数
递增区间为[-∞，-2n√a ]，[2n√a，+∞] ， 递减区间为[-2n√a，0 ），（0,2n√a ]

(2n√a 表示2n次根号下a,其他类似）