Question

若x,y,z均为正实数,且x^2+y^2+z^2=1,则S=(z+1)^2/2xyz的最小值是

Answer 1

解：
2xy ≤ x^2+y^2 = 1 - z^2，仅当x=y时成立
∴S = (z + 1)^2 / 2xyz
≥ (z + 1)^2 / z(1 - z^2)
= (z + 1) / z(1 - z)
= - 1 / [(z+1) - 3 + 2/(z+1)]

由于(z+1) + 2/(z+1) - 3 ≥ 2√2 - 3，等号当z+1 = 2/(z+1)，亦即z = √2-1时成立。
所以 - 1 / [(z+1) - 3 + 2/(z+1)] ≥ 1/(3 - 2√2) = 3 + 2√2，
S的最小值为3 + 2√2，当z = √2-1时成立。
不难求出，此时的x = y = √(√2 - 1)。