Question

如图抛物线y=a（x-1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，已知CD= 2 ；

（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m的值；（3）将（1）中的抛物线向上平移t（t＞0）个单位，与直线CD交于点G、H，设平移后的抛物线的顶点为D1，与y轴的交点为C1，是否存在实数t，使得DH⊥HD1，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵D（1，4），CD=根号2，
∴C（0，3），
∴a=-1，
∴y=-（x-1）2+4，
即y=-x2+2x+3；

（2）∵B（3，0）、C（0，3），
∴直线BC：y=-x+3，将直线BC向上平移b个单位得直线MN：y=-x+3+b，
则第三个点一定是直线MN与抛物线的唯一公共点，
联立y=-x+3+by=-x2+2x+3，
消去y得：x2-3x+b=0，
由△=0
得到b=94，
作CP⊥MN于P，则∠CMN=∠OCB=45°，
CM=94，
∴m=CP=9
28；

（3）由CC1=DD1=t，CC1∥DD1，
∴CC1D1D为平行四边形，
∴C1D1∥CD，
∴∠C1D1D=∠CDE=45°，
∵DH⊥HD1，∴∠DD1H=45°，
即△DHD1为等腰直角三角形，且DD1=t，
∴H（12t+1，12t+4），
由点H在新抛物线y=-x2+2x+3+t上，
∴-(
12t+1)2+2（12t+1）+3+t=12t+4，
解得t=2或t=0（舍），
∴t=2．