Question

双曲线x2/a2-y2/b2=1（a＞1，b＞0），焦距为2c，直线L过（a，0）和（0，b）且点（1，0）到直线L的距离与

（接上）点（-1，0）到直线L的距离之和S≥4/5c。求双曲线的离心率e的取值范围。（不要去百度搜，第一个是答案错的，我看过了）

Answer 1

解答：
直线L过（a，0）和（0，b）
则直线方程为x/a+y/b=1
即 bx+ay-ab=0
则 (1,0)和(-1,0)到直线的距离之和
S=|b-ab|/√(a²+b²)+|-b-ab|/√(a²+b²)
=b|1-a|/c+b|1+a|/c
=[b(a-1)+b(a+1)]/c
=2ab/c
∴ 2ab/c≥(4/5)c
∴ 5ab≥2c²
∴ 25a²b²≥4c²c²
即 25a²(c²-a²)≥4c²c²
两边同时除以a²
∴ 25e²-25≥4(e²)²
∴ 4(e²)²-25e²+25≤0
∴ (e²-5)(4e²-5)≤0
∴ 5/4≤e²≤5
∴ √5/2≤e≤√5
即 双曲线的离心率e的取值范围是√5/2≤e≤√5