Question

函数在一点连续,那么它的导函数在这一点可能可导吗? 谢谢

我有点懵了，证明函数在一点处可导是要求函数在这一点处连续 还是要在这一点的某邻域内都要连续呢？

Answer 1

连续不一定可导，可导一定连续。
函数在某点可导，有两个必要条件
（1）函数在该点处连续【不需要在这一点的某邻域内都要连续】
（2）该点两侧导数相等，即左右导数相等。
例如：y=|x|,在x=0处连续，但因为左导数为-1，右导数为1，不相等。故y在x=0处不可导。

追问

其实我问的是函数可导必连续，是不是说函数在一点处可导只能推出在这一点连续，而不能推出函数在这一点的邻域连续？

追答

我是这样理解的，一阶导数就是曲线的切线，一个孤立的点讨论切线是没有意义的，所以该点可到，两端必存在连续领域，也只有这样才存在左右导数。也就是说某点可导，这点的领域应该是连续的

Answer 2

当然是邻域，但通常邻域俩字被省略。