Question

求解一道高中数学题

（1）已知i为虚数单位，计算（1+i/1-i）的2013次方
（2）已知z是复数，z+3i于z/3-i均为实数（i为虚数单位），求复数z。
要过程

Answer 1

（1）已知i为虚数单位，计算[(1+i)/(1-i)]²⁰¹³
解：原式=[((1+i)²/2]²⁰¹³=[(2i)/2]²⁰¹³=i²⁰¹³=[(i²)¹⁰⁰⁶]i=[(-1)¹⁰⁰⁶]i=i
（2）已知z是复数，z+3i于z/(3-i)均为实数（i为虚数单位），求复数z。
解：设z=x+yi，那么z+3i=x+(3+y)i是实数，故3+y=0，即y=-3；
z/(3-i)=(x+yi)(3+i)/10=(3x+3yi+xi-xy)/10=[(3x-xy)+(3y+x)i]/10是实数，故3Y+x=-9+x=0，即有x=9；
于是得z=9-3i.

Answer 2

是（1+i）/（1-i）吗？
如果是的话，这个可以化一下，分子分母同乘以1+i，得到的是（1+i）*（1+i）/（1-i*i）=2i/2=i。
所以原式=i的2013次方。又因为i的四次方为1，所以原式答案为i。
设z=a+bi，则有b+3=0，后面是z/(3-i)吗，是的话，3b-a=0（因为(a+bi)*(3-i)=3a+b+(3b-a)i。)
所以能得出，b=-3，a=-9.
前提是z+3i指的是z+3*i，而不是(z+3)*i.

Answer 3

（1）(1+i)/(1-i)=(1+i)(1+i)/(1-i²)=2i/2=i
[(1+i)/(1-i)]^2013=i^2013=i^1=i
（2）设z=a+bi，a,b∈R
所以z+3i=a+(b+3)i，因为z+3i是实数，所以b=-3
z=a-3i
z/(3-i)=(a-3i)/(3-i)=(a-3i)(3+i)/[(3-i)(3+i)]=[(3a+3)+(a-9)i]/0
所以a=9，z=9-3i.

Answer 4

1、原式=（1+i）^2013/（1-i）^2013=[（1+i）^2013*（1+i）^2013/(1+i）^2013]/[（1-i）^2013（1+i）^2013]=[（1+i）^2]^2013*/[2^2013]=i^2013=i^2012*i=(i^2)^1006*i=i
2、设z=a+bi，a,b∈R
所以z+3i=a+(b+3)i，因为z+3i是实数，所以b=-3
z=a-3i
z/(3-i)=(a-3i)/(3-i)=(a-3i)(3+i)/[(3-i)(3+i)]=[(3a+3)+(a-9)i]/0
所以a=9，z=9-3i.

Answer 5

⑴i^4n=1，i^（4n+1）=i，i^（4n+2）=-1，i^（4n+3）=-i
上面是要记住的，（1+i）/（1-i）=i
2013/4=503…1，所以原式解为i
⑵设z=a+bi（a，b属于R）
z+3i=a+（3+b）i
z/（3-i）=（a+bi）/（3-i）=[3a-b+（a+3b）i]/4
所以3+b=0，b=-3；a+3b=0，a=9
所以z=9-3i