Question

已知函数F(X)=x^3+3ax-1,G(X)=F'(X)-ax-5,其中F'(X)是F(X)的导函数。

已知函数F(X)=x^3+3ax-1,G(X)=F'(X)-ax-5,其中F'(X)是F(X)的导函数。(1)对满足a大于等于-1小于等于1的一切a的值都有g(x)小于0 求实数x取值范围
(2)设a=-m^2 当m在什么什么范围变化时,函数f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，g(x)=3x^2-ax+3a-5,，
令H(x)=(3-x)a+3x^2-5，-1≤a≤1，
对-1≤a≤1，恒有g(x)＜0，即H(a)＜0，
∴H(1)＜0且H（-1）＜0即3x^2-x-2＜0且3x^2+x-8＜0，解得x∈(-2/3,1)；
故x∈(-2/3,1)时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0；
（Ⅱ）f'(x)=3x^2-3m^2，
①当m=0时，f(x)=x^3-1的图象与直线y=3只有一个公共点；
②当m≠0时，由列表知f(x)min=f(▏x ▏)=-2m^2乘以绝对值m再减一小于-1
又∵f(x)的值域是R，且在（绝对值m,正无穷）上单调递增，
∴当x＞|m|时函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点；
当x＜|m|时，恒有f(x)≤f(▕-m▏)，
由题意得f(▕-m▏)＜3，即，2m^2▕m▏-1=2▕m▏^3-1＜3解得m属于（-三次根号2，0）∪（0，三次根号2）；
综上，m的取值范围是（-三次根号2，三次根号2）。

Answer 2