已知AB=AC,∠A=20度,∠BCD=30度,求证AD=BC
证明：以AC为边向左作等边三角形ACE，连接BE
所以AC=AE=CE
角CAE=角ACE=60度
因为角CAE=J BAE+角BAC
因为角BAC=角A=20度
所以角BAE=40度
因为AB=AC
所以角ABC=角ACB
AE=AB
所以角AEB=角ABE
因为角AEB+角ABE+角BAE=180度
所以角ABE=70度
因为角ABC+角ACB+角BAC=180度
所以角ABC=角ACB=80度
因为角ACB=角ACE+角BCE
所以角BCE=80-60=20度
因为角CBE=角ABC+角ABE
所以角CBE=70+80=150度
因为角BDC+角ADC=180度
角BDC=30度
所以角ADC=150度
所以角ADC=角CBE=150度
角BAC=角CBE=20度
AC=CE
所以三角形ADC和三角形CBE全等(AAS)
三角形性质
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
哈，那我来第三种方法吧。
辅助：过A做三角形的高，交BC于O;过A做CD的高交CD延长线于E;
△∵∴⊥∥∠≌∽√°π
∵AB=AC,AO⊥BC
∴OC=OB,OA是高也是角分线，∠OAC=10°
∵∠BDC是△ADC的外角，∠BDC=30°,∠BAC=20°
∴∠ACD=10°
在△AOC和△CEA中，
∠OAC＝∠ACD＝10°
各有一个直角，
AC是公共边
∴△AOC≌△CEA
∴AE=OC
∵∠BDC=30°=∠EDA=30°(对顶)
DE⊥AE
∴AE=1/2AD
∴AE=OC
∴AE=1/2BC
∴AD=BC
以B点逆时针旋转BC 60º作BE， 连接AE
则BC=BE
角CBE=60º
三角形BCE为等边三角形
则AE平分角A, 角BAE=10º
因为AB=AC
角A=20º
所以角ABC=角ACB=80º
则角ABE=80º-60º=20º=角A
又角DCA=角BDC-角A=30º-20º=10º
三角形ADC≌三角形BEA
AD=BE=BC
所以AC=AE=CE
角CAE=角ACE=60度
因为角CAE=J BAE+角BAC
因为角BAC=角A=20度
所以角BAE=40度
因为AB=AC
所以角ABC=角ACB
AE=AB
所以角AEB=角ABE
因为角AEB+角ABE+角BAE=180度
所以角ABE=70度
因为角ABC+角ACB+角BAC=180度
所以角ABC=角ACB=80度
因为角ACB=角ACE+角BCE
所以角BCE=80-60=20度
因为角CBE=角ABC+角ABE
所以角CBE=70+80=150度
因为角BDC+角ADC=180度
角BDC=30度
所以角ADC=150度
所以角ADC=角CBE=150度
角BAC=角CBE=20度
AC=CE
所以三角形ADC和三角形CBE全等(AAS)
所以AD=BC
DE/AD=SIN(20)/SIN(80)
DE/BC=AD/AB=AD/AC=SIN(10)/SIN(150)(两个等式都是正弦定理)
DE/AD=DE/BC
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