Question

定积分单调性

为什么被积区间可以这样分

Answer 1

这是周期函数的一个积分性质。
若f(x)=f(x+T)，则在任何一个长度是T的区间上的积分值都是一样的。
积分(从a到a+T)f(x)dx
=积分(从a到0)+积分(从0到T)+积分(从T到T+a) f(x)dx
对第三个积分做变量替换x-T=y，注意到周期性，再用x代替y得
=积分(从a到0)+积分(从0到T)+积分(从0到a)f(x)dx
第一个和第三个积分互为相反数
=积分(从0到T)f(x)dx

追问

可是这个题中怎么看出f(x)=f(x+T)？

追答

本题中的sin，cos都是以T=2pi为周期的啊，所以只要长度是2pi，积分值都是一样的。

追问

但是他们的n次方和m次方的乘积还是以2π为周期吗？

追答

对。这很容易验证。
sin^n(x+2pi)*cos^m(x+2pi)=sin^n(x)*cos^m(x)，故是以2pi为周期的。