Question

已知数列{an}的前n项和Sn,Sn=3n的平方-2n求数列1/an*an+1的前n项和Tn

Answer 1

Sn=3n²－2n，则：
当n=1时，a2=S1=1；
当n≥2时，an=Sn－S(n－1)=6n－5
因n=1也满足，则：an=6n－5
设数列bn={1/an*an+1}
bn=1/[(6n-5)(6n+1)]=(1/6)[1/(6n-5)-1/(6n+1)]
Sn=(1/6)[1-1/7+1/7-1/13+.......+1/(6n-5)-1/(6n+1)]
=(1/6)[1-1/(6n+1)]
=n/(6n+1)
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追问

谢谢 那个中间1/[(6n-5)(6n+1)]=(1/6)[1/(6n-5)-1/(6n+1)]这步骤 把前面的分数拆成两个相减的分数 有什么技巧 我拆了半个小时拆不了。。。

追答

我们把这种叫做裂项求和
主要你看n的前面系数相等，就能拆开相减
1/[(6n-5)(6n+1)]

系数=6

Answer 2

当n>1时，
an=Sn-Sn-1=3n^2－2n-3(n-1)^2+2(n-1)=6n-5
当n=1时,a1=S1=1，符合

故有an=6n-5
bn=1/an*a(n+1)=1/(6n-5)(6n+1)=1/6[1/(6n-5)-1/(6n+1)]
Tn=1/6[1-1/7]+1/6[1/7-1/13]+...+1/6[1/(6n-5)-1/(6n+1)]
=1/6[1-1/(6n+1)]
=1/6*6n/(6n+1)
=n/(6n+1)

Answer 3

Sn=3n^2-2n
an=Sn-Sn-1=6n-5
又因为1/(an*an+1)=1/an-1/an+1
所以Tn=(1/a1*a2)+1/(a2*a3)+……+1/(an*an+1)
Tn=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+……+1/an-1an+1
=1/a1-1/an+1 an+1=6n+1
=6n/(6n+1)