Question

已知数列an满足an+1=(1+an)/3-an , 且a1=0

a2=1/3 a3=1/2 a4=3/5 猜想｛an} 的通项公式并用数学归纳法证明

Answer 1

猜想an＝(n-1)/(n+1)
n=1时
a1＝0，猜想成立
设n＝k时，猜想成立
a(k)＝(k-1)/(k+1)
则，n＝k+1时
a(k+1)＝[1+a(k)]/[3-(ak)]
＝[1+(k-1)/(k+1)]/[3-(k-1)/(k+1)]
＝(2k)/(2k+4)
＝(k)/(k+2)
＝[(k+1)-1]/[(k+1)+1]
n=k+1时，猜想成立

所以，{an}的通项公式为
an=(n-1)/(n+1)