Question

问题如图

Answer 1

首先，依题意有：
f'(x) = 3x^2 +2ax +b
f'(1) = 2a+b+3； f'(3) = 6a+b+27
f(x)的切线斜率为其导数，两条切线平行说明其斜率相同，即：
f'(1) = f'(3)，代入上面两式：2a+b+3 = 6a+b+27
解得：a = -6
所以有：f'(x) = 3x^2 -12x +b = 3(x-2)^2 +(b-12)
(1) 在f(x)在区间[1,3]单调意味着在此区间f'(x)的符号不变。
由于x在[1,3]区间时，3(x-2)^2的值域范围是[0,3]，所以只要b-12的值大于等于0或小于等于-3，f'(x)的符号就不会变。
由此得：b >= 12或b <= 9，即b的取值范围为：(负无穷大,9] U [12,正无穷大)。

题目的数字出得不是很好，计算太麻烦了，现在肚子也饿了，所以第二问稍晚再做吧。。

Answer 2

（1）求出f `（x）=3x²+2ax+b

f `(1)=3+2a+b=f `(3)=27+6a+b

解得a=-6

所以f `（x）=3x²-12x+b

要使函数在[1,3]单调

只需f `(1)≤0且f `（3）≤0（单调递减）

或f `(2)≥0（单调递增）（画出大致图形，观察图形）

（2）恰好有两解，说明直线y=1和y=5,恰好过曲线的极值点，

设两极值点为x1，x2.