Question

已知△ABC的面积S=(b+c)²-a²,则tanA/2的值

Answer 1

由已知得：S=2bc*sinA=(b+c)²-a²
即：2bc*sinA=b²+2bc+c²-a²
由余弦定理有：a²=b²+c²-2bc*cosA
即：b²+c²-a²=2bc*cosA
所以：2bc*sinA=2bc+2bc*cosA
那么：sinA=1+cosA
即：2sin(A/2)cos(A/2)=2cos²(A/2)
sin(A/2)cos(A/2)=cos²(A/2)
已知0°<A<180°，那么：0°<A/2<90°
则有：cos(A/2)>0
所以等式 sin(A/2)cos(A/2)=cos²(A/2)可化为：
sin(A/2)=cos(A/2)
所以：tan(A/2)=sin(A/2)/cos(A/2)=1

追问

S=2bc*sinA=(b+c)²-a²错了
是S=(bc*sinA)/2=(b+c)²-a²

追答

哦哦，抱歉！更正：
由已知得：S=(1/2)bc*sinA=(b+c)²-a²
即：(1/2)bc*sinA=b²+2bc+c²-a²
由余弦定理有：a²=b²+c²-2bc*cosA
即：b²+c²-a²=2bc*cosA
所以：(1/2)bc*sinA=2bc+2bc*cosA
那么：(1/4)sinA=1+cosA
即：(1/2)sin(A/2)cos(A/2)=2cos²(A/2)
(1/4)sin(A/2)cos(A/2)=cos²(A/2)
已知0°0
所以等式 (1/4)sin(A/2)cos(A/2)=cos²(A/2)可化为：
(1/4)sin(A/2)=cos(A/2)
即sin(A/2)=4cos(A/2)
所以：tan(A/2)=sin(A/2)/cos(A/2)=4

Answer 2

根据余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
S=(b+c)²-a²=b^2+c^2-(b^2+c^2-2bc*cosA)=2bc cosA
又，根据面积公式，S=(bc*sinA)/2
所以2cosA=sinA /2
所以tanA=4
sinA=4/√17, cosA=1/√17
tanA/2=(1-cosα)/sinα=(√17-1)/√17*√17/4=(√17-1)/4

追问

(b+c)²-a²=b^2+c^2-(b^2+c^2-2bc*cosA)错了
应该是(b+c)²-a²=b^2+c^2＋2bc-(b^2+c^2-2bc*cosA)