Question

高中数学，在线等。详解。谢谢！

Answer 1

因为acosC、bcosB、ccosA成等差数列，
所以，acosC+ccosA=2bcosB
根据正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，代入上式并消去2R得：
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
即：sin(A+C)=2sinBcosB
因为A+C+B=180，所以A+C=180-B，因此由诱导公式上式又可以化为：
sinB=2sinBcosB
因为sinB不等于0，所以两边约去sinB，得：
1=2cosB
即：cosB=1/2
因为角B是ΔABC的内角，所以0<B<180度，因此，角B=60度。

2.
B=60度，A+C=120°.
cos2A+cos(A-C)
= cos2A+cos(A-(120°-A))
= cos2A+cos(2A-120°)
= cos2A+cos2Acos120°+sin2A sin120°
= cos2A-1/2*cos2A+√3/2* sin2A
=1/2*cos2A+√3/2* sin2A
=sin(2A+30°),
因为0°<A<120°,
30°<2A+30°<270°,
所以-1<sin(2A+30°)≤1，
即cos2A+cos(A-C)的取值范围是(-1,1].

Answer 2

因为是等差数列，所以2bcosB=acosC+ccosA,然后利用正弦定理，将a,b,c分别换成sinA,sinB,sinC,然后运用三角函数的三角变化可得2B=A+C,或者2B=π-（A+C），又因为A+B+C=180,所以得到B=60度
第二题反复利用三角变化最后全部换成和B有关的函数，根据B=60度求解

Answer 3

解:
(1)依题意
2bcosB=acosC+ccosA
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
sin2B=sin(A+C)
所以2B=A+C=180-B
3B=180
B=60°
(2)
2sin^2A+cos(A-C)
=-(1-2sin^2A-1)+cos(2A-120°)
=-cos2A+1-1/2cos2A+根号3/2sin2A
=-3/2cos2A+根号3/2sin2A
=根号3[sin(2A-π/3)]
所以取值为(0,根号3]

Answer 4

(1) a/sinA=b/sinB=c/sinC=t
a=tsinA b=tsinB c=tsinC
acosC、bcosB、ccosA成等差数列
则 2bcosB=acosC+ccosA
将a、b、c代入，得
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
sin2B=sin(A+C)
A+B+C=180°
B=60°
(2) 2sin²A+cos(A-C)=2sin²A+cos(2A-120°)
=1-cos2A+cos2Acos120°+sin2Asin120°
=1-3/2cos2A+√3/2sin2A
=1-√3( √3/2cos2A-1/2sin2A)
=1-√3( sin60°cos2A-cos60°sin2A)
=1-√3 sin(60°-2A)
=1+√3 sin(2A-60°)
60°<A<120°
120°<2A<240°
60°<2A-60°<180°
1<2sin²A+cos(A-C)≤1+√3