Question

勾股定理证明方法带图

怎样用四个全等的直角三角形证明勾股定理，越多越好

Answer 1

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
　　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。 【证法1】（梅文鼎证明）
　　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠EGF = ∠BED，
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S，则
　　,
　　∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2
　　 【证法2】（项明达证明）
　　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ，垂足为N.
　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
　　∴ ∠MPC = 90°，
　　∵ BM⊥PQ，
　　∴ ∠BMP = 90°，
　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
　　∴ ∠QBM = ∠ABC，
　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2 【证法3】（赵浩杰证明）
　　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
　　∴FI=a，
　　∴G,I,J在同一直线上，
　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
　　∠CJB = ∠CFD = 90°，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
　　∵∠ABC= 90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上，
　　所以a^2+b^2=c^2 【证法4】（欧几里得证明）
　　　作三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，
　　交AB于点M，交DE于点L.
　　∵ AF = AC，AB = AD，
　　∠FAB = ∠GAD，
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
　　∵ ΔFAB的面积等于，
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半，
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ 即a的平方+b的平方=c的平方 【证法5】欧几里得的证法
　　　《几何原本》中的证明
　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
　　其证明如下：
　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

Answer 2

四块全等直角三角形，用勾股定理魏德武证法，可以说其证法是所有勾股定理证法中最简捷、最实用的首选方法，学者一看就懂，一学就会。将四块全等直角三角形三条边长分别为a、b、c，组成二块长方形面积（ab+ad=2ab），再将二块长方形面积分开，从新组成一块边长为c的正方形，通过形变将原有的四块全等直角三角形面积转换成c^2-(b-a)^2进行计算,。根据前后面积不变的原理构筑一对恒等式2ab=c^2-(b-a)^2化简后得c^2=a^2+b^2。这样既不要割补也不需求证，,就可轻而易举地导出直角三角形三边的内在关系。

Answer 3