Question

已知3sinβ=sin（2α＋β），且α，α+β≠kπ+π/2.（k∈Z）

①求证：tan（α＋β）=2tanα；②若0＜α＜π/4，0＜β＜π/4，且2tanα×tanα＝3tanα－1，求α＋β的值.

Answer 1

①证：
3sinβ=sin(2α+β)

3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]
3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα
α，α+β≠kπ+π/2，cos(α+β)，cosα≠0
等式两边同除以cos(α+β)cosα

tan(α+β)=2tanα
②
2(tanα)^2=3tanα-1

2(tanα)^2-3tanα+1=0
(tanα-1)(2tanα-1)=0
tanα=1(0＜α＜π/4，tanα<1，舍去)或tanα=1/2
tan(α+β)=2tanα=1
0＜α＜π/4，0＜β＜π/4

0＜α+β＜π

α+β=π/4

Answer 2

　①3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)
　　3sin(α+β)cosα-3sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα+sinαcos(α+β)
　　2sin(α+β)cosα=4sinαcos(α+β)
　　∵α,α+β≠kπ+π/2,(k∈Z)

　　∴cosα≠0，cos(α+β)≠0
　　∴sin(α+β)/cos(α+β)=2sinα/cosα
　　∴tan(α+β)=2tanα
　②2tan²α-3tanα+1=0
　　解方程得：tanα=1或tanα=1/2
　　∵0<α<π/4
　　∴tanα=1/2
　　tan(α+β)=2tanα=1
　　0<α+β<π/2
　　∴α+β=π/4

Answer 3

解：
3sinb-sin(2a+b)=0
2(sinb-sin(2a+b))+sinb+sin(2a+b)=0
-4cos(a+b)sina+2sin(a+b)cosa=0
sin(a+b)cosa=2cos(a+b)sina
tana=sina/cosa=sin(a+b)/(2cos(a+b))=tan(a+b)/2
所以tan(a+b)=2tana
第二问
根据条件解出tana=1或1/2
a<π/4
所以tana=1/2
tan(a+b)=2tana=1
a+b=π/4

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