Question

已知三角形ABC中,三边abc满足1/a+b+1/b+c=3/a+b+c求

证明A,B,C成等差数列

Answer 1

(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=3
1+c/(a+b)+1+c/(b+c)=3
两边减去2得
c/(a+b)+a/(b+c)=1
通分，c(b+c)+a(b+a)=(a+b)(b+c)
由此可得ac=a^2+c^2-b^2
而cosB＝（a^2+c^2-b^2)/(2ac)。
所以cosB=1/2。
B=60°
所以A+B=180°-60°=120°=2B
∴A,B,C成等差数列

【数学之美】很高兴为你解答，不懂请追问！满意请采纳，谢谢！O(∩_∩)O~

Answer 2

1/（a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
(a+2b+c)/(a+b)(b+c)=3/(a+b+c)
3(a+b)(b+c)=(a+2b+c)(a+b+c)
3ab+3ac+3bc+3b²=a²+2b²+c²+3ab+2ac+3bc
a²+c²-b²=ac
∴cosB=（a²+c²-b²)/2ac
=1/2
∴B=60°
B+A+C=180°
所以A+C=2B
所以A,B,C成等差数列

Answer 3

因为(a+b+c)*(1/(a+b) + 1/(b+c))
= (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(b+c)
= 1 + c/(a+b) + 1 + a/(b+c)
= 2 + c/(a+b) + a/(b+c)
= 2 + sinC/(sinA+sinB) + sinA/(sinB+sinC)
因为A,B,C成等差数列，所以A-B = B-C，即A+C=2B，易得B=60度。

所以
(a+b+c)*(1/(a+b) + 1/(b+c))
= 2 + sinC/(sinA+sinB) + sinA/(sinB+sinC)
= 2 + sinC/(2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)) + sinA/(2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2))
= 2 + sinC/(2*cos(C/2)*cos((A-B)/2)) + sinA/(2*cos(A/2)*cos((B-C)/2))
= 2 + sin(C/2) / cos((A-B)/2) + sin(A/2) / cos((B-C)/2)
= 2 + (sin(C/2) + sin(A/2)) / cos((A-B)/2)
= 2 + 2sin(B/2)cos((A-B)/2) / cos((A-B)/2)
= 2 + 2sin(B/2)
= 2 + 2sin30
= 3
故1/(a+b) + 1/(b+c) = 3/(a+b+c)

Answer 4

(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=3
两边减去2得c/(a+b)+a/(b+c)=1
通分，c(b+c)+a(b+a)=(a+b)(b+c)
由此可得ac=a^2+c^2-b^2
而cosB＝（a^2+c^2-b^2)/(2ac)。
所以cosB=1/2。
B=60°
而B+A+C=180°
所以A+C=2B
所以A,B,C成等差数列

Answer 5

化简可以得到a=2b，∠A=90，∠B=30，∠C=60