Question

正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝2，AA1＝根号2，D是AC中点。（1）求三棱锥B1－BDC1的体积（2）证明：AB1垂直BC1

Answer 1

数理答疑团为你解答，希望对你有所帮助。

（1）求三棱锥B1－BDC1的体积
即：三棱锥D－BB1C1的体积，过D作DE⊥BC与BC交于E，底面BB1C1，则DE为高。
BB1C1面积：B1C1 *BB1 /2 = AB*AA1 /2 = √2
DE = √2 /2
所以：三棱锥D－BB1C1的体积=(√2*√2 /2)/3 = 1/3

（2）证明：AB1垂直BC1
证明：过A作AF∥BC，过C作CF∥BA，交点F，过A1作A1F1∥B1C1，过C1作C1F1∥B1A1，交点F1，则：AB1∥FC1，BC1=√6、FC1=√6，BF=2√3；
故：BC1²+FC1²=BF²，故：FC1⊥BC1，所以：AB1⊥BC1

祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)

Answer 2

解：
(1)
SΔB1BD=√2*√3/2=√6/2
C1到平面B1BD的距离=CD=1
故V(B1-BDC1)=√6/2*1/3=√6/6
(2)
过A作AE⊥BC于E
则BB1/BE=BC/CC1=√2
故ΔB1BE∽ΔBCC1
∴∠BEB1=∠BC1C
∵∠BC1C+∠CBC1=90°
故∠BEB1+∠CBC1=90°
∴B1E⊥BC1
根据三垂线定理
∴AB1⊥BC1

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！