Question

问几个高三数学排列组合问题

1.设平面上有6个点，如果6个点中有三点共线情况，故以这些点为顶点能作出16个三角形。试求6个点中可能出现几种三点共线情况?
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2.100件产品中有3件次品，则抽出3件里至少一件为次品的抽法有多少种?
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3.有10个点将圆周10等分。以这10个点为端点，共可作多少条弦?多少个三角形?多少个直角三角形?

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主要是解题思路讲一下谢谢……orz

Answer 1

1、
若没有三点共线，则任取3点，有C(6，3)＝20个三角形
因为有三点共线情况，以这些点为顶点只能作出16个三角形
20－16＝4
所以，6个点中可能出现4种三点共线情况

2、100件产品中任取三件，有C(100，3)种抽法
3件全为正品，有C(97，3)种抽法
所以，至少一件为次品的抽法＝C(100，3)－C(97，3)

3、10个点任选两个点相连，得到一条弦
C(10，2)＝45
所以，共可作45条弦

10个点任选3个点相连，得到一个三角形
C(10，3)＝120
所以，共可作120个三角形
10个点，共形成5条直径，以这5条直径作为斜边，任意连接另外的一点就可以构成直角三角形。
一条直径可以构成的直角三角形可以有8个（选中了作为直径的2点，剩下的8点都可以和这条直径构成直角三角形,而且由于直径不同，所以这种算法三角形不会重复）
共有5条直径，所以构成的直角三角形有5×8＝40(个)

Answer 2

第一道题看不懂。。。
第二题，抽出三件，至少一件为次品，那么可能抽到的情况有，2好1次，1好2次，0好3次，那这样就很清楚了，97件里抽2个好的的C97 2（排列组合），3个里抽一个好 C3 1(同上)，然后相乘，就得到第一个，同理其它两种情况。最后相加。还有一种方法，三件至少一件为次品，加入抽到的没有次品，那就是C97 3,总共抽的种类有C100 3,然后拿C100 3- C97 3就是你要的结果。
第三题，（弦包括直径吗？）因为是圆，所以没有任意的两点在同一条直线上，反过来就是说任意两点的连线都是弦C10 2，若如弦不包括直径，因为是10等分，那么肯定有5条直径（直径可以讲圆分成两等分，你可以再之上画10等分，必然相对的两个点都通过圆心），那就C10 2-5就是弦的数量。直角三角形的斜边肯定是直径，去了直径的两个点还剩8个点，任意一个点与直径的两个点项链都是直角三角形，所以一条直径可以组成的直角三角形为C8 1,5跳就是C8 1*5
ps：数学公式不好大，见谅。。。